Persamaan
Diferensial
Bab
ini akan menjelaskan persamaan diferensial dan penyelesaiannya, baik persamaan
diferensial orde satu maupun orde dua sampai dengan orde n. Materi persamaan
diferensial sangat berguna dalam pengenalan konsep dan pemecahan masalah yang
berkaitan dengan permasalahan fisis, salah satunya adalah untuk memodelkan
sistem nyata dalam persamaan matematis.
Tujuan
pembelajaran pokok bahasan ini adalah mahasiswa diharapkan dapat :
1.
Menjelaskan
jenis-jenis persamaan diferensial
2.
Membedakan
persamaan diferensial biasa dan sebagian
3.
Menentukan
orde dan derajat persamaan diferensial
4.
Membedakan
persamaan diferensial linier dan tak linier
5.
Menentukan
solusi persamaan diferensial orde-1
6.
Mengaplikasikan
persamaan diferrensial orde-1 dalam persoalan rangkaian listrik
7.
Menyelesaikan
persamaan diferensial orde 2 dan orde-n (orde tinggi)
8.
Menerapkan
persamaan diferensial orde-n pada permasalahan nyata.
Definisi-definisi
Persamaan
diferensial adalah persamaan dengan satu atau lebih turunan fungsi. Dan Suatu
persamaan diferensial mengandung variabel-variabel x, y, dan turunan-turunan y
terhadap x, yaitu :
(1)
|
|
Dengan
x sebagai peubah bebas dan y peubah tak
bebas.
Contoh :
Persamaan
diferensial dapat diklasifikasikan sebagai berikut :
1.
Menurut
jenis atau tipe terdiri dari persamaan diferensial biasa dan persamaan
diferensial sebagian (parsial). Di bagian ini hanya akan dibahas persamaan
diferensial biasa saja, persamaan diferensial parsial akan dibahas semester
berikutnya pada MK Matematika 3.
Persamaan
diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang terdiri dari satu peubah
bebas, sedangkan persamaan diferensial parsial mempunyai dua atau lebih peubah
bebas.
Contoh :
Untuk persamaan
diferensial biasa diambil contoh yang sama dengan persamaan di atas, yakni :
,
dengan y sebagai peubah tak bebasnya dan x adalah peubah bebasnya.
Sedangkan
persamaan diferensial parsial, diambil contoh permasalahan yang mengandung waktu sebagai variabel bebas biasanya termasuk
dalam persamaan parabola. Persamaan parabola yang paling sederhana adalah perambatan
panas dan difusi polutan, yang mempunyai bentuk :
Dalam persamaan perambatan panas tersebut, T (temperatur), K (koefisien konduktivitas), serta
variabel t (waktu) dan x (jarak) merupakan peubah bebasnya.
2.
Menurut
orde, orde persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan dalam
persamaan diferensial tersebut.
3.
Menurut
derajat, derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat dari turunan fungsi
orde tertinggi.
Contoh
:
Persamaan
Diferensial Linier dan Tak Linier
Persamaan diferensial biasa seperti yang
telah dijelaskan sebelumnya mempunyai bentuk umum seperti berikut :
Persamaan differensial diatas dikatakan
linier jika F linier dalam variabel-variabel
.
Definisi ini juga berlaku untuk persamaan diferensial parsial (sebagian). Jadi
bentuk umum persamaan diferensial linier orde n adalah :
(2)
|
|
Dengan,
adalah konstanta-konstanta.
Persamaan yang tidak dalam bentuk
persamaan diatas merupakan persamaan tak linier. Contoh persamaan tak linier
adalah :
.
Persaman tersebut tak linier karena ada suku-suku :
dan
.
Persamaan Diferensial Linier Homogen dan
Tak Homogen
Jika persamaan diferensial linier dituliskan
kembali dengan menuliskan persamaan masukannya u(x), yakni :
(3)
|
|
Maka, bila u(x) = 0
disebut dengan Persamaan Diferensial Linier Homogen, sebaliknya bila
disebut
Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen.
Latihan 1
1.
Tentukan
apakah persamaan berikut persamaan diferensial biasa atau parsial.
a.
b.
c.
2.
Pada
soal berikut tentukan orde dan persamaan diferensial dan nyatakan apakah
persamaan linier atau tak linier.
a.
b.
c.
3.
Kelompokkan
setiap persamaan diferensial berikut dengan menuliskan orde, peubah bebas dan
tak bebasnya, serta persamaan biasa atau parsialkah?
a.
Solusi
Persamaan Diferensial Orde Satu
Suatu
fungsi
dikatakan merupakan solusi suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y
dengan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.
Contoh
:
Pada
umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan
sembarang. Konsep utama dalam persamaan diferensial dan penerapannya adalah
mencari semua solusi persamaan yang diberikan dan meyelidiki sifatnya. Dalam
sub bab berikut akan dibahas beberapa metode untuk menentukan solusi persamaan
diferensial orde satu.
Solusi
Persamaan Diferensial Orde Satu dengan Pemisahan Peubah (Variabel)
Beberapa
persamaan diferensial orde satu dapat ditulis dalam persamaan berikut :
Karena
,
maka :
Jika
pemisahan ini bisa dilakukan maka persamaan dapat dituliskan dalam bentuk :
Untuk
mendapatkan solusi umum dengan tetapan sebarang K, lakukan integrasi, yakni :
Contoh
:
Persamaan
ini dapat dituliskan sebagai
Kemudian
tuliskan sebgai persamaan dengan peubah terpisah, maka :
Integrasikan,
diperoleh :
Sehingga
:
atau
.
Contoh
:
Pemisahan
peubah akan menghasilkan persamaan berikut :
Integrasikan
persamaan tersebut, didapat :
Persamaan
Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu
persamaan diferensial disebut homogen jika persamaan tersebut dapat dituliskan
dalam bentuk :
.
Dengan suatu peubah bebas baru, yakni :
Latihan
1.
Tentukan
solusi persamaan diferensial orde satu berikut dengan pemisahan peubah :
a.
,
b.
c.
2.
Selesaikanlah
persamaan diferensial homogen orde satu berikut :
a.
b.
3.
Carilah
solusi persamaan diferensial linier berikut, jika :
a.
,
b.
,
Model
Persamaan Differensial dan Operator-p
Pada
sub bab berikut akan dijelaskan solusi persamaan diferensial orde 2 atau lebih
(orde tinggi). Untuk memudahkan proses penentuan solusi, maka dibagian awal
akan dipaparkan pemodelan persamaan diferensial dengan operator-p.
Secara
umum bentuk matematis persamaan diferensial linier orde-n adalah:
Persamaan
diatas adalah persamaan linier dengan orde-n. Untuk memudahkan menganalisa dan
menyelesaikan persamaan differensial linier orde-n tersebut maka seringkali
suku
digantikan dengan operator-p, sehingga
persamaan di atas menjadi :
Jika
dinamakan dengan persamaan diferensial linear
orde-n homogen, sedangkan jika
disebut dengan persamaan diferensial linear
orde-n tak homogen. Untuk persamaan homogen akan diperoleh solusi homogen saja,
. Dan, persamaan tak homogen menghasilkan
solusi khusus,
. Sehingga solusi total persamaan
diferensial linear orde-n :
Solusi
Persamaan Differensial Linier Orde n (Orde Tinggi)
Solusi
Homogen
Dengan
mengasumsikan
, seperti persamaan berikut :
Dengan
terlebih dahulu mencari akar-akar dari persamaan polinomial diatas, maka bentuk
umum penyelesaian homogen
adalah :
Dimana
:
Berikut
ini adalah prosedur untuk menentukan
:
1)
Cari akar-akar persamaan polinomial
persamaan (2) dan nyatakan akar-akarnya sebagai
.
2)
Untuk akar-akar riil yang berbeda,
adalah
.
3)
Untuk pasangan akar-akar kompleks
konyugat
,
adalah
dan
.
4)
Untuk m akar riil yang sama,
adalah
,
,
, ... ,
.
5)
Untuk m pasangan akar-akar kompleks
konyugat
,
adalah
,
,
,
,
,
, ... ,
,
.
Penyelesaian
Khusus,
Persamaan
differensial linier orde-n adalah :
Atau,
1.
|
|
|
2.
|
|
|
3.
|
|
|
4.
|
|
|
5.
|
|
|
6.
|
|
|
7.
|
|
|
Solusi khusus tidak
boleh muncul pada solusi homogennya. Jika hal ini terjadi, kalikan solusi khususnya
dengan faktor x atau x2 sehingga tidak memuat lagi
solusi homogennya.
Latihan
:
Tentukan
solusi total dari persamaan diferensial linier orde-n berikut :
1.
2.
3.
4.
Contoh
6 :
Diketahui
persamaan differensial orde n:
Hitung
penyelesaian partikular dari persamaan diatas.
Jawab
:
Dalam
notasi operator :
Dari
input diketahui bahwa
, berarti
digantikan dengan
, sehingga diperoleh :
Contoh
7 :
Hitung
penyelesaian partikular dari contoh 6 dengan
.
Jawab
:
Menggunakan
notasi operator :
Diperoleh
:
Contoh
8 :
Ulangi
contoh 7 dengan
.
Jawab
:
Diperoleh
:
Penyelesaian
umum persamaan differensial orde tinggi
Contoh
9 :
Cari
penyelesaian umum dari persamaan differensial orde 3 berikut :
Jawab
:
Dari
hasil-hasil yang diperoleh pada contoh 4 dan contoh 6, diperoleh :
Konstanta
,
, dan
jika diketahui nilai-nilai awal sebagai
berikut :
Maka
:
Didapat
:
Contoh
4 :
Diketahui
persamaan differensial orde n:
Hitung
penyelesaian komplemen dari persamaan diatas.
Jawab
:
Dalam
notasi operator :
Akar-akar
dari persamaan polinomial diatas adalah
dan
. Jadi penyelesaian komplemennya adalah ;
Contoh
5 :
Diketahui
persamaan differensial orde n:
Hitung
penyelesaian komplemen dari persamaan diatas.
Jawab
:
Dalam
notasi operator :
Akar-akar
dari persamaan polinomial diatas adalah
,
, dan
. Jadi penyelesaian komplemennya adalah ;
Tidak ada komentar:
Posting Komentar