Persamaan Diferensial

Bab ini akan menjelaskan persamaan diferensial dan penyelesaiannya, baik persamaan diferensial orde satu maupun orde dua sampai dengan orde n. Materi persamaan diferensial sangat berguna dalam pengenalan konsep dan pemecahan masalah yang berkaitan dengan permasalahan fisis, salah satunya adalah untuk memodelkan sistem nyata dalam persamaan matematis.

Tujuan pembelajaran pokok bahasan ini adalah mahasiswa diharapkan dapat :

1.    Menjelaskan jenis-jenis persamaan diferensial

2.    Membedakan persamaan diferensial biasa dan sebagian

3.    Menentukan orde dan derajat persamaan diferensial

4.    Membedakan persamaan diferensial linier dan tak linier

5.    Menentukan solusi persamaan diferensial orde-1

6.    Mengaplikasikan persamaan diferrensial orde-1 dalam persoalan rangkaian listrik

7.    Menyelesaikan persamaan diferensial orde 2 dan orde-n (orde tinggi)

8.    Menerapkan persamaan diferensial orde-n pada permasalahan nyata.

Definisi-definisi

Persamaan diferensial adalah persamaan dengan satu atau lebih turunan fungsi. Dan Suatu persamaan diferensial mengandung variabel-variabel x, y, dan turunan-turunan y terhadap x, yaitu :

(1)

Dengan x sebagai peubah bebas dan y  peubah tak bebas.

Contoh :

Persamaan diferensial dapat diklasifikasikan sebagai berikut :

1.      Menurut jenis atau tipe terdiri dari persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial sebagian (parsial). Di bagian ini hanya akan dibahas persamaan diferensial biasa saja, persamaan diferensial parsial akan dibahas semester berikutnya pada MK Matematika 3.

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang terdiri dari satu peubah bebas, sedangkan persamaan diferensial parsial mempunyai dua atau lebih peubah bebas.

Contoh :

Untuk persamaan diferensial biasa diambil contoh yang sama dengan persamaan di atas, yakni : , dengan y sebagai peubah tak bebasnya dan x adalah peubah bebasnya.

Sedangkan persamaan diferensial parsial, diambil contoh permasalahan yang mengandung waktu sebagai variabel bebas biasanya termasuk dalam persamaan parabola. Persamaan parabola yang paling sederhana adalah perambatan panas dan difusi polutan, yang mempunyai bentuk : 

Dalam persamaan perambatan panas tersebut, T (temperatur), K (koefisien konduktivitas), serta variabel t (waktu) dan x (jarak) merupakan peubah bebasnya.

2.      Menurut orde, orde persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan dalam persamaan diferensial tersebut.

3.      Menurut derajat, derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh :

à Persamaan ini adalah persamaan diferensial biasa, orde 3, berderajat 2.

Persamaan Diferensial Linier dan Tak Linier

Persamaan diferensial biasa seperti yang telah dijelaskan sebelumnya mempunyai bentuk umum seperti berikut :

Persamaan differensial diatas dikatakan linier jika F linier dalam variabel-variabel . Definisi ini juga berlaku untuk persamaan diferensial parsial (sebagian). Jadi bentuk umum persamaan diferensial linier orde n adalah :

(2)

Dengan,  adalah konstanta-konstanta.

Persamaan yang tidak dalam bentuk persamaan diatas merupakan persamaan tak linier. Contoh persamaan tak linier adalah : . Persaman tersebut tak linier karena ada suku-suku :  dan .

Persamaan Diferensial Linier Homogen dan Tak Homogen

Jika persamaan diferensial linier dituliskan kembali dengan menuliskan persamaan masukannya u(x), yakni :

(3)

Maka, bila u(x) = 0 disebut dengan Persamaan Diferensial Linier Homogen, sebaliknya bila  disebut Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen.

Latihan 1

1.    Tentukan apakah persamaan berikut persamaan diferensial biasa atau parsial.

a.        

b.       

c.        

2.    Pada soal berikut tentukan orde dan persamaan diferensial dan nyatakan apakah persamaan linier atau tak linier.

a.        

b.       

c.        

3.    Kelompokkan setiap persamaan diferensial berikut dengan menuliskan orde, peubah bebas dan tak bebasnya, serta persamaan biasa atau parsialkah?

a.        

Solusi Persamaan Diferensial Orde Satu

Suatu fungsi  dikatakan merupakan solusi suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dengan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh :

             adalah solusi dari persamaan , karena turunan  adalah  dan jika persamaan ini disubstitusikan ke persamaan akan diperoleh :  à persamaan ini terpenuhi.

Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang. Konsep utama dalam persamaan diferensial dan penerapannya adalah mencari semua solusi persamaan yang diberikan dan meyelidiki sifatnya. Dalam sub bab berikut akan dibahas beberapa metode untuk menentukan solusi persamaan diferensial orde satu.

Solusi Persamaan Diferensial Orde Satu dengan Pemisahan Peubah (Variabel)

Beberapa persamaan diferensial orde satu dapat ditulis dalam persamaan berikut :

Karena , maka :

Jika pemisahan ini bisa dilakukan maka persamaan dapat dituliskan dalam bentuk :

Untuk mendapatkan solusi umum dengan tetapan sebarang K, lakukan integrasi, yakni :

Contoh :

Persamaan ini dapat dituliskan sebagai

Kemudian tuliskan sebgai persamaan dengan peubah terpisah, maka :

Integrasikan, diperoleh :

Sehingga :
 atau .

Contoh :

Pemisahan peubah akan menghasilkan persamaan berikut :

 atau .

Integrasikan persamaan tersebut, didapat :

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

Suatu persamaan diferensial disebut homogen jika persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk : . Dengan suatu peubah bebas baru, yakni :

Latihan

1.    Tentukan solusi persamaan diferensial orde satu berikut dengan pemisahan peubah :

a.       ,

b.     

c.        

2.    Selesaikanlah persamaan diferensial homogen orde satu berikut :

a.      

b.     

3.    Carilah solusi persamaan diferensial linier berikut, jika :

a.       ,

b.      ,

Model Persamaan Differensial dan Operator-p

Pada sub bab berikut akan dijelaskan solusi persamaan diferensial orde 2 atau lebih (orde tinggi). Untuk memudahkan proses penentuan solusi, maka dibagian awal akan dipaparkan pemodelan persamaan diferensial dengan operator-p.

Secara umum bentuk matematis persamaan diferensial linier  orde-n adalah:

Persamaan diatas adalah persamaan linier dengan orde-n. Untuk memudahkan menganalisa dan menyelesaikan persamaan differensial linier orde-n tersebut maka seringkali suku  digantikan dengan operator-p, sehingga persamaan di atas menjadi :

Jika  dinamakan dengan persamaan diferensial linear orde-n homogen, sedangkan jika  disebut dengan persamaan diferensial linear orde-n tak homogen. Untuk persamaan homogen akan diperoleh solusi homogen saja, . Dan, persamaan tak homogen menghasilkan solusi khusus, . Sehingga solusi total persamaan diferensial linear orde-n :

Solusi Persamaan Differensial Linier Orde n (Orde Tinggi)

Solusi Homogen

Dengan mengasumsikan , seperti persamaan berikut :

                          (2)                                                             

Dengan terlebih dahulu mencari akar-akar dari persamaan polinomial diatas, maka bentuk umum penyelesaian homogen  adalah :

                                                                           

Dimana :

 adalah konstanta, yang nilainya tergantung dari nilai awal yang diberikan pada .

 adalah fungsi eksponensial dari akar-akar polinomial, dengan i = 1, 2, 3, ..., n.

Berikut ini adalah prosedur untuk menentukan  :

1)   Cari akar-akar persamaan polinomial persamaan (2) dan nyatakan akar-akarnya sebagai  .

2)   Untuk akar-akar riil yang berbeda,  adalah .

3)   Untuk pasangan akar-akar kompleks konyugat ,  adalah  dan .

4)   Untuk m akar riil yang sama,  adalah , , , ... , .

5)   Untuk m pasangan akar-akar kompleks konyugat ,  adalah , , , , , , ... , , .

Penyelesaian Khusus,

Persamaan differensial linier orde-n adalah :

Atau,

   adalah penyelesaian khusus dari persamaan differensial tersebut dan   diketahui. Dengan , sehingga diperoleh solusi umum/total persamaan diferensial linear orde-n  Solusi khusus ini akan ditentukan dengan metode koefisien tak tentu, yakni dengan mensubsitusikan  dengan  yang diketahui. Tabel berikut adalah tabel pasangan   dengan .

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Solusi khusus tidak boleh muncul pada solusi homogennya. Jika hal ini terjadi, kalikan solusi khususnya dengan faktor x atau x² sehingga tidak memuat lagi solusi homogennya.

Latihan :

Tentukan solusi total dari persamaan diferensial linier orde-n berikut :

1.     

2.     

3.     

4.     

Contoh 6 :

Diketahui persamaan differensial orde n:

 

Hitung penyelesaian partikular dari persamaan diatas.

Jawab :

 

Dalam notasi operator :

 

Dari input diketahui bahwa , berarti  digantikan dengan , sehingga diperoleh :

Contoh 7 :

Hitung penyelesaian partikular dari contoh 6 dengan .

Jawab :

 dengan 

Menggunakan notasi operator :

 

Diperoleh :

Contoh 8 :

Ulangi contoh 7 dengan .

Jawab :

Diperoleh :

Penyelesaian umum persamaan differensial orde tinggi

Contoh 9 :

Cari penyelesaian umum dari persamaan differensial orde 3 berikut :

 

Jawab :

Dari hasil-hasil yang diperoleh pada contoh 4 dan contoh 6, diperoleh :

Konstanta , , dan  jika diketahui nilai-nilai awal sebagai berikut :

Maka :

Didapat :

Contoh 4 :

Diketahui persamaan differensial orde n:

 

Hitung penyelesaian komplemen dari persamaan diatas.

Jawab :

 

Dalam notasi operator :

 

Akar-akar dari persamaan polinomial diatas adalah  dan . Jadi penyelesaian komplemennya adalah ;

Contoh 5 :

Diketahui persamaan differensial orde n:

 

Hitung penyelesaian komplemen dari persamaan diatas.

Jawab :

 

Dalam notasi operator :

 

Akar-akar dari persamaan polinomial diatas adalah , , dan . Jadi penyelesaian komplemennya adalah ;